"一个数学家是一个对以下内容感到显而易见的人，就像二加二等于四一样" -- 凯尔文勋爵。

1. 从概率密度的定义开始 对于任何具有密度 f(x) 的连续随机变量， \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 根据定义。这不是一个定理——这就是概率密度的含义。 2. 正态分布是使用 e^{-x^2} 定义的 标准正态密度是 \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} 这个常数 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 不是任意的。它的选择是为了使总概率等于 1。 所以自动有： \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 两边同时乘以 \sqrt{2\pi}： \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} 对 x 进行总结

高斯积分在你从概率的角度思考时是“显而易见”的。 正态分布的积分必须为1，而它的密度只是一个缩放的 e^{-x^2}。