"Một nhà toán học là người mà điều sau đây rõ ràng như hai cộng hai bằng bốn" -- Lord Kelvin.

1. Bắt đầu với định nghĩa về mật độ xác suất Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên liên tục nào với mật độ f(x), \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 theo định nghĩa. Đó không phải là một định lý — đó là ý nghĩa của mật độ xác suất. 2. Phân phối chuẩn được định nghĩa bằng e^{-x^2} Mật độ chuẩn là \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} Hằng số này \frac{1}{\sqrt{2\pi}} không phải là tùy ý. Nó được chọn để tổng xác suất bằng 1. Vì vậy, tự động: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 Nhân cả hai bên với \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} Tóm tắt cho x

Tích phân Gaussian là "rõ ràng" khi bạn nghĩ theo khía cạnh xác suất. Phân phối chuẩn phải tích phân bằng 1, và mật độ của nó chỉ là một hàm e^{-x^2} được điều chỉnh.