"الرياضي هو من يكون بالنسبة له التالي واضحا كما أن اثنان زائد اثنان يساوي أربعة" -- اللورد كيلفن.

1. ابدأ بتعريف كثافة الاحتمالية لأي متغير عشوائي مستمر بكثافة f(x)، \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1 بحكم التعريف. هذه ليست نظرية — بل تعني كثافة الاحتمال. 2. يعرف التوزيع الطبيعي باستخدام e^{-x^2} الكثافة الطبيعية القياسية هي \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} هذا الثابت \frac{1}{\sqrt{2\pi}} ليس اعتباطيا. يتم اختياره بحيث يكون الاحتمال الكلي مساويا 1. لذا تلقائيا: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\,dx = 1 اضرب كلا الجانبين في \sqrt{2\pi}: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi} تلخيص ل x

التكامل الغاوسي "واضح" عندما تفكر من حيث الاحتمالية. يجب أن يتكامل التوزيع الطبيعي مع 1، وكثافته هي مجرد e^{-x^2} متقن.