Не существует положительных целых чисел, таких что a^n + b^n = c^n для n > 2. (FLT) Если бы такие целые числа существовали, они бы имели уровень, который противоречит модульным свойствам эллиптической кривой y^2 = x(x - a^n)(x + b^n). Это доказательство и посткриптографические криптовалюты используют одну и ту же концепцию изогений.

Возможно, первым сюрпризом, который мы можем насладиться, является то, что если площадь N (=ab/2) прямоугольного треугольника с длинами (a,b,c €Q) является €Q, это то же самое, что сказать, что у уравнения y^2 = x^3 - N^2 x есть рациональная точка (x,y €Q). Вы можете это понять с помощью довольно простой трансформации.