Feragatname: Grok 4.20'nin dahili beta sürümüne erken erişim vermiştim Öğrencim N. Alpay ile üzerinde çalıştığım sorunlardan biri için yeni bir Bellman fonksiyonu buldu. Problem, iki kısıtlama altında noktasal maksimum fonksiyon U(p,q) tanımlamaya ve U(p,0)'nın davranışını anlamaya indirgenir. Makalemizde U(p,0)\geq I(p) olduğunu kanıtladık; burada I(p) Gauss izoperimetrik profilidir, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} p ~ 0 olarak belirlenmiştir. ~5 dakika sonra, Grok 4.20 açık bir formül U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau} üretti; burada \tau, (0,1)'den p'den başlayarak Brown hareketinin çıkış zamanıdır. Bu, p ~ 0'da U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~p log(1/p) sağlar; bu, logaritmik faktörde karekök iyileşmesidir. Bu sonucun bir önemi var mı? Yarın dünyayı nasıl değiştireceğinizi söylemez. Bunun yerine, Boolean fonksiyonlarının türevlerinin stokastik analoglarının (kuadratik varyasyon) ortalamalarının ne olduğunu anlamaya yönelik küçük bir adım sunuyor: ne kadar küçük olabilirler?  Daha kesin olarak, bu, A \alt kümesi [0,1] kümelerinden 1_A gösterge fonksiyonlarına uygulanan diyadik kare fonksiyonunun L1 normuna keskin bir alt sınır verir. Takagi fonksiyonu hakkındaki önceki tweetimde, ||S_1(1_A)||_1, mucizevi bir şekilde |A| ki (benim için şaşırtıcı şekilde) Riemann hipoteziyle ilişkili. Burada, ||S_2(1_A)||_1, E \sqrt{\tau} tarafından verilir, burada Brown hareketi |A|. Bu fonksiyon, izoperimetrik tip profiller ailesine dahildir, ancak fraktal Takagi fonksiyonunun aksine, düz bir yapıda olup Gauss izoperimetrik profiliyle örtüşmez. Son olarak, harmonik analizde kare fonksiyonunun L^1'de sınırlı olmadığı bilinir. Buradaki soru daha çok merakla ilgiliydi: Boolean fonksiyonlarında test edildiğinde tam olarak nasıl patlıyor 1_A?  Daha önce, en bilinen alt sınır |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). Makalemizde, şuA| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|))))}. Bu yeni Grok's Bellman fonksiyonu |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Ve bu cilt aslında keskin.

Erdős sorunlarını LLM'lerle test etmeye devam ederseniz, muhtemelen sonunda açık olanlardan birini çözeceksiniz. Uzmanlar bunu yapmıyor (açık nedenlerle). Uzman olmayanlar ise uzmanların bunu yaptığını varsayıyor. Öyle değiller.

Aristoteles kur. API anahtarını alın. Terminalinizden çalıştırın. Matematikte açık olan herhangi bir problemi seçin ve Aristoteles'te (doğal dilinde!) girdi. Birkaç saat sonra ya tam resmi yalın proof üretir ya da başarısız olabilir. 👏