Aviso: Eu havia dado acesso antecipado à versão beta interna do Grok 4.20 Encontrou uma nova função Bellman para um dos problemas que eu vinha trabalhando com meu aluno N. Alpay. O problema se resume a identificar a função máxima pontual U(p,q) sob duas restrições e entender o comportamento de U(p,0). Em nosso artigo provamos que U(p,0)\geq I(p), onde I(p) é o perfil isoperimétrico de Gauss, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} como p ~ 0. Após ~5 minutos, Grok 4.20 produziu uma fórmula explícita U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, onde \tau é o tempo de saída do movimento browniano de (0,1) começando em p. Isso resulta em U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) em p ~ 0, uma melhoria na raiz quadrada do fator logarítmico. Algum significado para esse resultado? Não vai te dizer como mudar o mundo amanhã. Em vez disso, dá um pequeno passo para entender o que está acontecendo com as médias de análogos estocásticos de derivadas (variação quadrática) das funções booleanas: quão pequenas elas podem ser?  Mais precisamente, isso fornece um limite inferior acentuado na norma L1 da função quadrada diádica aplicada às funções indicadoras 1_A dos conjuntos A \subconjunto [0,1]. No meu tweet anterior sobre a função Takagi, vimos que o limite inferior nítido em ||S_1(1_A)||_1 milagrosamente coincide com a função de Takagi de |A| que (para minha surpresa) está relacionada à hipótese de Riemann. Aqui, obtemos um limite inferior acentuado em ||S_2(1_A)||_1 dado por E \sqrt{\tau}, onde o movimento browniano começa em |A|. Essa função pertence à família dos perfis do tipo isoperimétrico, mas, ao contrário da função fractal de Takagi, ela é suave e não coincide com o perfil isoperimétrico de Gauss. Finalmente, na análise harmônica, sabe-se que a função quadrada não é limitada em L^1. A pergunta aqui era mais curiosidade: como exatamente isso se destaca quando testado em funções booleanas 1_A.  Anteriormente, o limite inferior mais conhecido era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). Em nosso artigo, obtivemos |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Essa nova função Bellman de Grok dá |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) E esse limite é realmente nítido.

Se você continuar testando os problemas de Erdő com LLMs, é muito provável que eventualmente resolva um dos abertos. Especialistas não estão fazendo isso (por motivos óbvios). Os não especialistas assumem que os especialistas estão fazendo isso. Não são.

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