Disclaimer: Am oferit acces timpuriu la versiunea beta internă a Grok 4.20 A găsit o nouă funcție Bellman pentru una dintre problemele la care lucram cu studentul meu N. Alpay. Problema se reduce la identificarea funcției maximale punct cu punct U(p,q) sub două constrângeri și înțelegerea comportamentului lui U(p,0). În lucrarea noastră am demonstrat că U(p,0)\geq I(p), unde I(p) este profilul izoperimetric gaussian, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} ca p ~ 0. După ~5 minute, Grok 4.20 a produs o formulă explicită U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, unde \tau este timpul de ieșire al mișcării browniene de la (0,1) începând de la p. Aceasta duce la U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) la p ~ 0, o îmbunătățire a rădăcinii pătrate a factorului logaritmic. Are vreo semnificație a acestui rezultat? Nu îți va spune cum să schimbi lumea mâine. Mai degrabă, oferă un mic pas spre înțelegerea a ceea ce se întâmplă cu mediile analogilor stocastici ai derivatelor (variație cuadratică) ale funcțiilor booleene: cât de mici pot fi acestea?  Mai precis, aceasta oferă o limită inferioară clară pe norma L1 a funcției pătrat diadice aplicată funcțiilor indicator 1_A mulțimilor A \submulțime [0,1]. În tweet-ul meu anterior despre funcția Takagi, am văzut că limita inferioară clară a ||S_1(1_A)||_1 coincide miraculos cu funcția Takagi a lui |A| care (surprinzător pentru mine) este legată de ipoteza lui Riemann. Aici obținem o limită inferioară ascuțită pe ||S_2(1_A)||_1 dat de E \sqrt{\tau}, unde mișcarea browniană începe la |A|. Această funcție aparține familiei profilurilor de tip izoperimetric, dar spre deosebire de funcția fractală Takagi, este netedă și nu coincide cu profilul izoperimetric gaussian. În final, în analiza armonică se știe că funcția pătrat nu este limitată în L^1. Întrebarea aici era mai mult curiozitate: cum anume explodează când este testată pe funcții booleene 1_A.  Anterior, cea mai cunoscută limită inferioară era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). În lucrarea noastră, am obținut |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Această nouă funcție Bellman a lui Grok dă |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Și această limită este de fapt ascuțită.

Dacă continui să testezi problemele Erdő cu LLM-uri, este foarte probabil să rezolvi în cele din urmă una dintre cele deschise. Experții nu fac asta (din motive evidente). Non-experții presupun că experții fac asta. Nu sunt.

Instalează-l pe Aristotel. Obține cheia API. Rulează-l din terminalul tău. Alege orice problemă deschisă în matematică și intră în Aristotel (în limbajul ei natural!). După câteva ore fie va produce o probă formală completă a înțelesului, fie poate eșua. 👏