Ansvarsfriskrivning: Jag hade gett tidig tillgång till den interna betaversionen av Grok 4.20 Den hittade en ny Bellman-funktion för ett av problemen jag arbetat med tillsammans med min student N. Alpay. Problemet reduceras till att identifiera den punktvisa maximala funktionen U(p,q) under två begränsningar och förstå beteendet hos U(p,0). I vår artikel bevisade vi U(p,0)\geq I(p), där I(p) är den Gaussiska isoperimetriska profilen, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} som p ~ 0. Efter ~5 minuter producerade Grok 4.20 en explicit formel U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, där \tau är utgångstiden för Brownsk rörelse från (0,1) med start vid p. Detta ger U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) vid p ~ 0, en kvadratrotförbättring av den logaritmiska faktorn. Finns det någon betydelse av detta resultat? Den kommer inte att tala om för dig hur du ska förändra världen imorgon. Snarare ger den ett litet steg mot att förstå vad som händer med medelvärden av stokastiska analoger till derivator (kvadratisk variation) av boolesk funktion: hur små kan de vara?  Mer precist ger detta en skarp nedre gräns för L1-normen av den dyadiska kvadratfunktionen tillämpad på indikatorfunktioner 1_A av mängder A \delmängd [0,1]. I min tidigare tweet om Takagi-funktionen såg vi att den skarpa nedre gränsen på ||S_1(1_A)||_1 sammanfaller mirakulöst med Takagifunktionen av |A| vilket (överraskande för mig) är relaterat till Riemannhypotesen. Här får vi en skarp nedre gräns för ||S_2(1_A)||_1 givet av E \sqrt{\tau}, där Brownsk rörelse börjar vid |A|. Denna funktion tillhör familjen av isoperimetriska profiler, men till skillnad från den fraktala Takagi-funktionen är den slät och sammanfaller inte med den Gaussiska isoperimetriska profilen. Slutligen är det i harmonisk analys känt att kvadratfunktionen inte är begränsad i L^1. Frågan här handlade mer om nyfikenhet: hur exploderar det exakt när det testas på booleska funktioner 1_A.  Tidigare var den mest kända nedre gränsen |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). I vår artikel fick vi |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Denna nya Groks Bellman-funktion ger |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Och denna gräns är faktiskt skarp.