免責事項:私はGrok 4.20の内部ベータ版に早期アクセス権を与えていました それは、私が学生のN.アルパイと取り組んでいた問題の一つに対して新しいベルマン関数を見つけました。 この問題は、2つの制約下で点ごとの最大関数U(p,q)を特定し、U(p,0)の挙動を理解することに帰着します。 私たちの論文では、U(p,0)\geq I(p)を証明しました。ここでI(p)はガウス等周プロファイル、I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} はp ~ 0です。 ~5分後、Grok 4.20は明示的な式 U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau} を生成しました。ここで \tau は (0,1) から p から始まるブラウン運動の出口時間です。これにより、P ~ 0 で U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p)となり、対数因子の平方根の改善が得られます。 この結果に何か意味があるのでしょうか?明日世界を変える方法を教えてくれません。むしろ、それは確率的類似物の導関数(二次変分)の平均がどうなっているのかを理解するための小さな一歩です。すなわち、それらはどれほど小さくなり得るのか? より正確には、これは集合A \部分集合[0,1]の指標関数に適用した二進二乗関数のL1ノルムの鋭い下限を与え1_A。 前回の高木関数に関するツイートでは、||の鋭い下限がS_1(1_A)||_1 は奇跡的に | の高木関数と一致します。A|これは(私にとって驚くべきことに)リーマン予想に関連しています。ここで、|| の鋭い下限を得る。S_2(1_A)||_1はE \sqrt{\tau}で与えられ、ここでブラウン運動は|A|。この関数は等周型プロファイルの族に属しますが、フラクタルの高木関数とは異なり滑らかであり、ガウス等周プロファイルとは一致しません。 最後に、調和解析では二乗関数がL^1で有界でないことが知られています。ここでの質問は好奇心に関するものでした。ブール関数1_Aでテストしたとき、どのように爆発するのか。 それ以前、最もよく知られている下限は |A|(1-|A|)(バークホルダー—デイビス—ギャンディ)私たちの論文では、|A|(1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}。この新しいGrokのベルマン関数は |A|(1-|A|)\log(1/(|A|(1-|A|)))そしてこの境界線は実際に鋭いです。