Vastuuvapauslauseke: Olin antanut varhaisen pääsyn Grok 4.20:n sisäiseen beetaversioon Se löysi uuden Bellman-toiminnon yhteen niistä tehtävistä, joita olin työstämässä opiskelijani N. Alpayn kanssa. Ongelma tiivistyy pisteittäin maksimaalisen funktion U(p,q) tunnistamiseen kahdella rajoitteella ja U(p,0):n käyttäytymisen ymmärtämiseen. Artikkelissamme todistimme U(p,0)\geq I(p), missä I(p) on Gaussin isoperimetrinen profiili, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} muodossa p ~ 0. ~5 minuutin jälkeen Grok 4.20 tuotti eksplisiittisen kaavan U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, missä \tau on Brownin liikkeen poistumisaika (0,1) alkaen pisteestä p. Tämä tuottaa U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) kohdassa p ~ 0, mikä on neliöjuuren parannus logaritmiseen tekijään. Onko tällä tuloksella mitään merkitystä? Se ei kerro sinulle, miten muuttaa maailmaa huomenna. Sen sijaan se antaa pienen askeleen kohti ymmärrystä siitä, mitä tapahtuu Boolen funktioiden derivaattojen stokastisten analogien keskiarvoissa (kvadrattinen vaihtelu): kuinka pieniä ne voivat olla?  Tarkemmin sanottuna tämä antaa jyrkän alarajan dyadisen neliöfunktion L1-normille indikaattorifunktioiden 1_A joukoille A \osajoukko [0,1]. Edellisessä twiitissäni Takagi-funktiosta näimme, että jyrkkä alaraja ||S_1(1_A)||_1 ihmeellisesti osuu yhteen Takagi-funktion kanssa |V| joka (yllättäen minulle) liittyy Riemannin hypoteesiin. Tässä saadaan jyrkkä alaraja kohdassa ||S_2(1_A)||_1 annetaan E \sqrt{\tau}, jossa Brownin liike alkaa kohdassa |A|. Tämä funktio kuuluu isoperimetristen tyyppiprofiilien perheeseen, mutta toisin kuin fraktaalinen Takagi-funktio, se on sileä eikä vastaa Gaussin isoperimetristä profiilia. Lopuksi harmonisessa analyysissä tiedetään, että neliöfunktio ei ole rajoitettu L^1:een. Kysymys koski enemmän uteliaisuutta: miten se tarkalleen räjähtää, kun sitä testataan Boolen funktioilla 1_A.  Aiemmin tunnetuin alaraja oli |V|(1-|V|) (Burkholder—Davis—Gandy). Artikkelissamme saimme |V| (1-|V|)\sqrt{log(1/(|V|(1-|A|)))}. Tämä uusi Grok's Bellman -funktio antaa |V| (1-|V|) \log(1/(|V|(1-|A|))) Ja tämä sidonta on itse asiassa terävä.